Turunan Parsial

Turunan Fungsi dua Variabel

Turunan Parsial.

Diketahui   z = f(x,y) fungsi  dengan dua variabel independen x dan y.  Karena  x dan y independen maka :

                (i).  x  berubah-ubah sedangkan y tertentu.

                (ii). y  berubah-ubah sedangkan x tertentu. 

Definisi

i) Turunan parsial terhadap variabel x

                     Jika  x  berubah-ubah  dan y  tertentu maka  z  merupakan fungsi x, Turunan parsial  z = f(x,y) terhadap x  sbb :

ii) Turunan parsial terhadap variabel y

      Jika  y  berubah-ubah  dan x  tertentu maka  z  merupakan fungsi

      y,  Turunan parsial  z = f(x,y) terhadap y  sbb :

Menentukan rumus kecepatan dan percepatan

Jika rumus atau persamaan posisi gerak suatu benda sebagai fungsi waktu diketahui yaitu s = f(t), maka rumus kecepatan dan kecepatannya dapat ditentukan yaitu:

• Rumus kecepatan 
• Rumus percepatan 

Contoh soal :

1.  Suatu benda bergerak sepanjang garis mendatar mengikuti persamaan : 
s(t)=t3−3t2+5$s(t)=t^3-3t^2+5$ , dengan jarak satuan meter dan t$t$ detik. 
Tentukan : 
a). Kecepatan dan percepatan dalam t$t$ , 
b). Kecepatan dan percepatan saat t=3$t=3$ detik , 
c). Kapankah benda tersebut berhenti atau diam. 

Pembahasan :

a). Menentukan kecepatan dan percepatan,
Fungsi : s(t)=t3−3t2+5$s(t)=t^3-3t^2+5$
Kecepatan : v(t)=s′(t)=3t2−6t$v(t)=s^{\mathrm{\prime }}(t)=3t^2-6t$
Percepatan : a(t)=s′′(t)=6t−6$a(t)=s^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)=6t-6$ 

b). Kecepatan dan percepatan saat t=3$t=3$ :
Kecepatan : v(t)=3t2−6t→v(3)=3.32−6.3=9$v(t)=3t^2-6t\to v(3)={3.3}^2-6.3=9$
Sehingga kecepatannya adalah 9 m/detik.
Percepatan : a(t)=s′′(t)=6t−6→a(3)=6.3−6=12$a(t)=s^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)=6t-6\to a(3)=6.3-6=12$
Sehingga percepatannya adalah 12 m/detik2${}^2$.

c). Benda akan berhenti ketika kecepatannya nol,
v(t)=0→3t2−6t=0→3t(t−2)=0→t=0∨t=2$v(t)=0\to 3t^2-6t=0\to 3t(t-2)=0\to t=0\vee t=2$
Jadi, benda berhenti atau diam pada saat t=2$t=2$ detik. 

2. Sebuah bola dilemparkan vertikal ke atas dari tanah dengan kecepatan awal 80 m/detik. Jika arah positif diambil ke atas, persamaan gerak adalah

s(t)=−16t2+80t$s(t)=-16t^2+80t$ . Misalkan t$t$ menyatakan waktu sejak bola dilemparkan dinyatakan dalam detik, dan s$s$ jarak bola dari titik awal dinyatakan dalam meter pada saat t$t$ detik. Tentukan : 
a). kecepatan dan percepatan sesaat bola setelah 2 detik, 
b). waktu yang diperlukan bola untuk mencapai titik tertinggi, 
c). waktu dan kecepatan yang diperlukan bola untuk menyentuh tanah kembali.

Pembahasan :

Menentukan kecepatan dan percepatan dari fungsi : s(t)=−16t2+80t$s(t)=-16t^2+80t$ 
Kecepatan : v(t)=s′(t)=−32t+80$v(t)=s^{\mathrm{\prime }}(t)=-32t+80$ 
Percepatan : a(t)=s′′(t)=−32$a(t)=s^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)=-32$ 

a). kecepatan dan percepatan sesaat t=2$t=2$ 
Kecepatan : v(2)=−32.2+80=16$v(2)=-32.2+80=16$ 
Percepatan : a(2)=−32$a(2)=-32$ 
artinya setelah 2 detik bola naik dengan kecepatan sesaat 16 meter/detik dan percepatan -32 meter/detik2${}^2$. 

b). Bola mencapai titik tertinggi ketika benda berhenti yaitu saat kecepatannya nol.

v(t)=0→−32t+80=0→t=8032=2,5$v(t)=0\to -32t+80=0\to t=\frac{80}{32}=2,5$ 
artinya bola mencapai titik tertinggi ketika t=2,5$t=2,5$ detik atau waktu yang diperlukan bola untuk mencapai titik tertinggi adalah 2,5 detik. 

c). Bola akan kembali ke tanah pada saat s(t)=0$s(t)=0$ 
s(t)=0→−16t2+80t=0→16t(−t+5)=0→t=0∨t=5$s(t)=0\to -16t^2+80t=0\to 16t(-t+5)=0\to t=0\vee t=5$ 
artinya bola mencapai tanah lagi setalah waktunya 5 detik. 
Waktu yang dibutuhkan untuk mencapai tanah juga bisa dihitung dengan 2 kali dari waktu yang dibutuhkan untuk mencapai titik tertinggi, yaitu 2×2,5=5$2\times 2,5=5$ detik. 

Berikut tabel waktu, jarak dan kecepatan bola dan gambar lintasan yang dilalui oleh bola :